Виды точек разрыва функции

Очевидно, что график непрерывной функции можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции в точке , причем Вычислив значение функции в точке можно говорить о выполнении равенства , это доказывает непрерывность исходной функции в точке. Аналогично, рассматривая неравенство для , докажем существование. На отрезках и функция не убывает, поэтому по теореме 1 существуют , и. Функцию можно доопределить хорошим или не очень способом, но по условию этого не требуется. Думаю, почти все представили, как выглядит этот график. По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента удовлетворять условию , т. Небольшая математическая «скороговорка» для самостоятельного решения: Пример 7 Дана функция. В этом случае также говорят, что функция имеет бесконечный разрыв в этой точке. В самом деле, для точек это утверждение доказано в теореме 1.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как является примером непрерывной слева функции на всей области определения. Исследовать функцию на непрерывность в точках и. Данные точки в свою очередь подразделяются на две большие группы: разрывы первого рода и разрывы второго рода. Она непрерывна для нецелых , а если целое, то и , и, следовательно, имеет место разрыв первого рода. Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить , то получится функция, непрерывная в данной точке. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва. В знаменателе никакого криминала: «добавка» «минус ноль» не играет роли, и получается «четыре». Пусть функция имеет больше чем одну точку разрыва, и пусть и - два какие-либо из них.

В таких случаях часто говорят, что разрывна в , хотя идея непрерывности и разрывности в точке есть идея сопоставления с при , близких к. Здесь приведена классификация для простейшего случая —. Теория математического анализа даёт определение непрерывности функции в точке с помощью «дельта» и «эпсилон» окрестностей, но на практике в ходу другое определение, которому мы и уделим самое пристальное внимание. Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия , тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на. Однако функция может быть непрерывной только с одной стороны. Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Исследовать функцию на непрерывность. При этом в силу неравенства значение определено для квадратичной функции зелёная точка , и в силу неравенства , значение определено для линейной функции синяя точка : В самом-самом тяжёлом случае следует прибегнуть к поточечному построению каждого куска графика см. Левосторонний предел конечен и равен нулю в саму точку мы «не заходим» , но правосторонний предел бесконечен и оранжевая ветка графика бесконечно близко приближается к своей , заданной уравнением чёрный пунктир. Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их непрерывна в точке. Но именно несложные задачи чаще всего наказывают за пренебрежение и поверхностный подход к их решению. Буква обозначает точку графика функций. Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. II Исследуем на непрерывность точку 1 — функция определена в данной точке.